Ruang Lingkup Geometri

Mata Kuliah : Geometri

RUANG LINGKUP GEOMETRI

Kelompok 2

Andi Nur Ina Fauzia

Yulianti Y.

Indah Mulia Sari

Syamsu Rijal

Hardiansyah Nandar

Jurusan Pendidikan Matematika

FKIP

UNISMUH

2013

A.    Definisi Geometri

Kata Geometri berasal dari bahasa Yunani yaitu geo yang artinya bumi dan metro yang artinya mengukur. Maksudnya, mencakup mengukur segala sesuatu yang ada di bumi.

Menurut Novelisa Sondang bahwa “geometri menjadi salah satu ilmu matematika yang diterapkan dalam dunia arsitektur; juga merupakan salah satu cabang ilmu yang berkaitan dengan bentuk, komposisi dan proposisi.”

Muhmmad Fakhri Aulia menyebutkan bahwa geometri dalam pengertian dasar adalah sebuah cabang ilmu yang mempelajari pengukuran bumi dan proyeksinya dalam sebuah bidang dua dimensi.

Alders (1961) menyatakan bahwa geometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang titik, garis, bidang dan benda-benda ruang beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya dan hubungan antara satu dengan yang lain.

Dari beberapa definisi geometri diatas, dapat disimpulkan bahwa geometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang bentuk, ruang, komposisi beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya dan hubungan antara satu dengan yang lain.

B.     Sejarah Geometri sebagai Cabang dari Matematika

Geometri adalah cabang matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-527 SM) yang berkenaan dengan relasi ruang.

Ada enam wilayah yang dapat dipandang sebagai sumber penyumbang pengetahuan geometri yaitu Babilonia (4000 SM - 500 SM), Yunani (600 SM – 400 SM), Mesir (5000 SM – 500 SM), Jasirah Arab (600 – 1500 AD), India (1500 BC – 200 BC), dan Cina (100 SM – 1400). Tentu masih ada Negara-negara penyumbang pengetahuan geometri yang lain. Namun, kurang signifikan atau belum terekan dalam tradisi tulisan.

Geometri yang lahir dan berkembang di Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan berbagai bangunan yang kokoh dan besar. Juga harapan bagi para raja agar dapat menguasai tanah untuk kepentingan pendapatan pajak. Teknik-teknik geometri yang berkembang saat itu pada umunya masih kasar dan bersifat intuitif, akan tetapi, cukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan. Berbagai fakta tentang teknik-teknik geometri saat itu termuat dalam Ahmes Papirus yang ditulis lebih kurang tahun 1650 SM dan ditemukan pada abad ke-9. Dalam Papirus ini terdapat formula tentang perhitungan luas daerah suatu persegi panjang, segitiga siku-siku, trapesium yang mempunyai kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula tentang pendekatan perhitungan luas lingkaran.

Bangsa Babilonia mengembangkan cara menhitung luas dan volume. Diantaranya menghitung panjang keliling lingkaran yang sama dengan tiga kali panjang garis tengahnya. Kita mengenal harga tiga ini mendekati harga π. Rumus Pythagoras juga sudah dikenal pada masa itu.

Bangsa Mesir mendiami wilayah yang snagat subur di sepanjang sungai Nil. Pertanian berkembang pesat. Pemerinth memerlukan cara untuk membagi petak-petak sawah dengan adil. Maka, geometri maju disini karena menyajikan berbagai bentuk polygon yng disesuaikan dengan keadaan wilayah di sepanjang sungai Nil itu.

Di Yunani, geometri mengalami masa “emasnya”. Sekitar 2000 tahun yang lalu, ditemukan teori yang kita kenal dengan nama teori aksiomatis. Teori berfikir yang mendasarkan diri pada sesuatu yang paling dasar yang kebenarannya kita terima begitu saja. Kebenaran semacam ini kita sebut kebenaran aksioma. Dari sebuah aksioma diturunkan berbagai dalil, baik dalil dasar maupun dalil turunan.

Di wilayah timur, India dan Cina dikenal penyumbang pengetahuan matematika yang handal. Di India, para matematikawan memiliki tugas untuk membuat berbagai bangunan pembakaran untuk korban di altar. Salah satu syaratnya adalah bentuk boleh (bahkan harus) berbeda tetapi luasnya harus sama. Misalnya membuat banguna pemekaran yang terdiri atas lima tingkat dan setiap tingkat terdiri dari 200 bata. Diantara dua tingkat, tidak boleh ada susuna bata yang sama persis. Saat itulah muncul ahli geometri di India. Tentu, bangunan itu juga dilengkapi dengan atap. Atap juga merupakan bagian tugas matematikawan India. Disinilah berkembang teori-teori geometri.

Seperti cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, matematika (termasuk geometri) juga dikembangkan oleh para ilmuan Cina sejak 2000 tahun sebelum Masehi (atau sekitar 4000 tahun yang lalu). Kalau di Eropa terdapat buku unsur-unsur geometri Euclid yang mampu menembus waktu 2000 tahun tanpa tertandingi, di Timur Cina terdapat buku “Sembilan bab tentang matematika” yang dinuat sekitar tahun 179 oleh Liu Hui. Buku ini memuat banyak masalah geometri. Diantaranya menghitung luas dan volume. Dalam buku itu juga mengupas hukum Pythagoras. Juga banyak dibicarakan tentang polygon.

Pada zaman pertengahan, Ahli Matematik Muslis banyak menyumbangkan mengenai perkembangan geometri, terutma geometri aljabar dan aljabar geometri. Al- Mahani (1853) mendapat ide menguraikan masalah geometri seperti menyalin kubus kepada masalah dalam bentuk aljabar. Thabit Ibn Qurra (dikenal sebagai Thebit dalam Latin) (836 – 901) mengendali dengan pengendalian aritmetika yang diberikan kepada ratio kuantitas geometri, dan menyumbangkan tentang pengembangan geometri analitik. Omar Khayyam (1048 – 1131) menemukan penyelesaian geometri kepada persamaan kubik.

C.     Kajian Geometri Secara Umum (Cabang-Cabang Geometri)

1.      Geometri Diferensial

Geometri diferensial adalah sebuah disiplin matematika yang menggunakan teknik-teknik kalkulus diferensial dan kalkulus integral, juga aljabar linear dan aljabar multi linear, hingga masalah-masalah kajian dalam geometri. Teori kurva ruang dan dan bidang dalam ruang euklides tiga dimensi membentuk basis untuk pengembangan geometri diferensial pada abad ke-18 dan abad ke-19. Sejak akhir abad ke-19, geometri diferensial telah berkembang menjadi sebuah lapangan yang memperhatikan secara lebih umum dengan stuktur geometri pada lipatan terdiferensialkan. Geometri diferensial berhubungan dekat dengan topologi diferensial dan dengan aspek-aspek geometri pada teori persamaan diferensial. Geometri diferensial permukaan menangkap banyak gagasan  penting dan karakteristik teknik pada lapangan ini. Cabang-cabang dari geometri diferensial yaitu: Geometri Riemannian, Geometri Riemannian semu, Geometri Finsler, Geometri simplektis, Geometri kontak, Geometri kompleks dan Kahler,Geometri CR, Topologi diferensial, dan grup Lie.

1)      Geometri Riemannian

Geometri Riemannian mengkaji lipatan Riemannian, lipatan mulus dengan metric Riemannian. Ini adalah sebuah konsep tentang jarak yang disajikan dalam artian bentuk bilinear simetris definit positif mulus yang terdefinisi pada ruang tangen pada tiap-tiap titit. Berbagai konsep yang didasarkan pada panjang, seperti panjang lengkungan suatu kurva, luas suatu bidang, dan volume suatu padatan. Semuanya memiliki analogi natural dalam Geometri Riemannian.gagasan tentang turunan berarah suatu fungsi dari kalkulus peubah banyak diperluas dalam Geometri Riemannian menjadi gagasan turunan kovarian suatu tensor. Ada banyak konsep dan teknik analisis dan persamaan diferensial yang telah diperumum untuk berurusan dengan lipatan Riemannian.

2)      Geometri Riemannian semu

Geometri Riemannian semu memperumum Geometri Riemannian kepada kasus dimana tensor metrik tidak harus definit positif. Sebuah kasus khusus hal ini adalah “Lipatan Lorentzia”, yakni basis matematika untuk teori relativitas umum tentang gravitasi-nya Einsten

3)      Geometri Finsler

Geometri Finsler memiliki lipatan Finsler sebagai objek kajian utama. Ini adalah lipatan diferensial dengan suatu metrik Finsler, yaitu norma Banach yang terdefinisi pada tiap-tiap ruang tangen. Metrik Finsler adalah struktur yang jauh lebih umum daripada metrik Riemannian.

4)      Geometri simplektis,

Geometri simplektis adalah kajian tentang lipatan Simplektis. Lipatan yang hamper simplektis adalah lipatan terdiferensialkan yang diperlengkapi dengan bentuk bilinear matriks asimetris non-degenerat bervariasi mulus pada tiap-tiap ruang tangent

5)      Geometri kontak

Geometri kontak berurusan dengan lipatan tertentu yang berdimensi ganjil. Geometri kontak ini dekat dengan geometri simplektis dan seperti yang belakangan, geometri kontak mulai dipertanyakan dalam mekanika klasik

6)      Geometri kompleks dan Kahler

Geometri diferensial kompleks adalah kajian lipatan kompleks. Lipatan Kahler adalah lipatan yang diperlengkapi dengan struktur Kahler. Lipatan Kahler adalah lipatan simplektis dan kompleks.

7)       Geometri CR

Geometri CR adalah kajian geometri intrinsik dari batas-batas domain di dalam lipatan kompleks.

8)      Topologi diferensial

Topologi diferensial adalah kajian invarian geometris (global) tanpa bentuk metrik atau simplektis. Topologi diferensial bermula dari operasi-operasi natural, seperti turunan Lie dari bundle vector natural dan diferensial de Rham dari bentuk diferensial

9)      Grup Lie

Grup Lie adalah grup di dalam kategori lipatan mulus. Di samping sifat-sifat aljabar, grup Lie juga memanfaatkan sifat-sifat geometri diferensial. Konstruksi yang paling jelas adalah bahwa Aljabar Lie yakni ruang tangen pada unit yang diperlengkapi dengan kurung Lie di antara lapangan-lapangan vektor invarian-kiri.

2.      Geometri Projektif

Di dalam matematika, geometri projektif adalah kajian sifat-sifat geometris yang invarian dibawah transformasi projektif. Ini berati bahwa geometri projektif memiliki tatanan, ruang projektif, dan himpunan selektif yang berbeda dibandingkan konsep-konsep geometri elementer. Intuisi-intuisi dasarnya adalah bahwa ruang projektif memiliki lebih banyak titik daripada ruang euklides, dimana dimensi yang diberikan, dan bahwa transformasi geometris adalah diizinkan untuk memindahkan titik-titik ekstra ke titik-titik tadisional, dan begitu pula sebaliknya.

Sifat-sifat yang penuh makna di dalam geometri projektif disokong oleh gagasan baru transformasi ini, yang lebih radikal dalam efek-efeknya dibanding keterekspresiannya oleh suatu matriks transformasi dan translasi. Geometri projektif sebagian besarnya merupakan hasil pengembangan dari abad ke-19. Satu rancang bagun raksasa dari berbagai penelitian telah menjadikannya sebagai cabang geometri yang paling representative pada masa itu. Geometri projektif adalah teori tentang ruang projektif kompleks, karena koordinat-koordinat yang digunakan adalah bilangan kompleks. Geometri projektif juga merupakan subjek dengan banyak praktisi yang bekerja deminya, dibawah panji-panji geometri sintesis. Cabang lain yang muncul dari kajian-kajian aksiomatis geometri projektif adalah geometri berhingga. Cabang geometri projektif saat ini dibagi ke dalam banyak sub-cabang penelitian, dua contoh darinya adalah geometri aljabar projektif dan geometri diferensial projektif.  

Pada permulaan abad ke-19, karya Poncelet, Lazare Carnot, dan yang lainnya mendirikan geometri projektif sebagai cabang tersendiri dari matematika. Dasar-dasar yang seksama ini diajukan oleh Karl von Staudt dan disempurnakan oleh orang Italia Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa, dan Gino Fano pada penghujung abad ke-19.

Geometri projektif, seperti geometri afin dan geometri euklides, dapat juga dikembangkan dari program Erlangen-nya Felix Klein. Geometri projektif dikarakterisasi oleh invarian-invarian dibawah transformasi-transformasi grup projektif.

Setelah banyak karya yang memuat sedemikian banyaknya teorema dalam subjek ini, dasar-dasar geometri projektif menjadi lebih terpahami. Struktur insidensi dan rasio silang adalah invarian fundamental dibawah tranformasi projektif. Geometri projektif dapat dimodelkan oleh bidang afin (ruang afin) ditambah sebuah garis (hiperbidang) “di ketakhinggaan” dan kemudian memperlakukan garis iru (hiperbidang) sebagai sesuatu yang biasa.

Sebuah model aljabar untuk mengerjakan geometri projektif di dalam gaya geometri analitik diberikan oleh koordinat-koordinat homogeny. Di dalam artian yang mendasar, geometri projektif dan geometri terurut adalah elementer karena mereka melibatkan aksioma sesedikit mungkin dan kedua-duanya dapat digunakan sebagai fondasi bagi geometri afin dan geometri euklides. Geometri projektif tidaklah “terurut” dan dengan demikian geometri projektif adalah fondasi yang berbeda dari geometri.

D.    Geometri Bidang Datar (Euclid)

Geometri Euclid adalah sistem matematika yang dikaitkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria, yang dijelaskan dalam buku teks tentang geometri yaitu Element. Element merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Element sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengaruh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Materi Euclid terdiri dalam asumsi satu set kecil intuitif yang menarik aksioma, dan kemudian membuktikan banyaknya teorem-teorem daripada aksiom-aksiom. Meskipun banyak dari hasil Euclid telah dinyataakan oleh ahli-ahli matematika Yunani sebelumnya. Euclid adalah orang yang pertama yang menunjukan bagaimana proposisi-proposisi bisa masuk secara sempurna membentuk satu dedikasi dan system logis yang komprehesif.

Menjelang awal buku pertama dari Element, Euclid memberikan lima postulat (aksioma) untuk pesawat geometri, menyatakan dalam hal konstruksi (sebagaimana diterjemahkan oleh Thomas Heath) :

1.      “Untuk menggambar garis lurus dari setiap titik ke titik apapun”

2.      “Untuk menghasilkan (memperluas) sebuah garis lurus yang terbatas terus menerus dalam garis lurus”

3.      “Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak”

4.      “ itu Semua sudut yang tepat sama dengan satu sama lain”

5.      Para parallel dalil : “ jika garis lurus jatuh di dua jalur lurus membuat sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut yang tepatdua garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu disisi itu yang adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat”

Meskipun pernyataan Euclid dari postulat hanya secara eksplisit menegaskan keberadaan konstruksi, mereka juga diambil untuk menjadi unik. Element juga memasukkan lima “notasi biasa”  yaitu:

1.      Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu dengan lainnya.

2.      Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sama, maka keutuhan adalah sama.

3.      Jika sesuatu yang sama dikurangkan dari sama, maka sisanya adalah sama.

4.      Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain sama satu sama lain

5.      Keseluruhan lebih besar daripada bagian.

Buku Element ini bermula dengan geometri satah yang masih diajarkan di sekolah menengah sebagai satu system aksiman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama. Kemudian Element merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi dan seterusnya geometri Euclid telah diperpanjang kepada satu bilangan dimensi yang terhingga.

Geometri Euclid mempelajari bidang datar. Kita dapat dengan mudah menggambarkannya dalam bidang datar. Kita bisa menggunakana buku atau kertas untuk mengetaui konsep-konsep dari geometri Euclid. Dalam bidang datar kita tahu bahwa :

1.      Jarak terpendek dari dua titik adalah sebuah garis (dari dua buah titik bisa tepat dibuat satu garis ).

2.      Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat

3.      Konsep dari jarak antar garis dapat diilustrasikan

Selama lebih dari dua ribu tahun, kata sifat “Euclid” tidak diperlukan karena tidak ada geometri lain yang disusun. Aksioma Euclid tampak sangat jelas bahwa pembuktian teorema lainnya dianggap benar secara mutlak. Namun, sekarang banyak geometri non-euclid sudah diketahui. Yang pertama yang telah ditemukan pada awal abad 19. Implikasi dari teori Einsten mengenai teori relativitas umum adalah bahwa ruang Euclidean adalah pendekatan yang baik terhadap sifat ruang fisik hanya dimana medan gravitasi tidak terlalu kuat.

DAFTAR PUSTAKA

astutisetyoningsih.blogspot.com/2012/02/sejarah-geometri-euclid.html

aby-matematika.blogspot.com/2011/08/sejarah-geometri.html

id.wikipedia.org/wiki/Geometri diferensial

id.wikipedia.org/wiki/Geometri projektif

rimaag.blogspot.com/2013/03/geometri-euclid.html

matematikaoye.wordpress.com/geometri-euclid/